数学の「ヘアリーボール定理」には驚くべき意味がある

数学の最も難解な問題が風、アンテナ、核融合について教えてくれる

ココナッツの毛を平らに梳かしてもカウリックを作らないことを知ったら驚かれるかもしれません。 おそらくさらに驚くべきことは、「毛むくじゃらのボール定理」というさらに愚かな名前を持つこの愚かな主張は、トポロジーと呼ばれる数学の一分野からの誇り高い発見であるということです。 青少年向けのユーモアはさておき、この定理は気象学、無線通信、原子力に広範囲に影響を及ぼします。

ここでの「カウリック」とは、『リトル・ラスカルズ』のキャラクター、アルファルファが見せているような、ハゲやまっすぐに突き出た毛束のことを指します。 もちろん、数学者は問題を組み立てる際にココナッツやカウリックに言及しません。 より専門的な言葉で言えば、ココナッツを球、毛をベクトルと考えてください。 多くの場合、矢印として描かれるベクトルは、大きさ (または長さ) と方向を持つ単なるものです。 ココナッツの側面に対して髪を平らにとかすと、接線ベクトルと同等の接線ベクトル、つまり長さに沿って正確に 1 点で球体に接触するベクトルが形成されます。 また、滑らかな櫛通りを求めているため、髪をどこで分けてもはいけません。 言い換えれば、球上のベクトルの配置は連続的である必要があり、これは、近くの毛髪の方向が急激に変化するのではなく、徐々に変化する必要があることを意味します。 これらの基準をつなぎ合わせると、定理によれば、球上の各点にベクトルを割り当てようとしても、何か醜いことが必ず起こるということになります。つまり、不連続性 (部分) や長さゼロのベクトル (ハゲ部分) が生じることになります。スポット）または球に接していないベクトル（アルファルファ）。 完全な専門用語で言えば、球面上に連続的な非消失接線ベクトル場は存在できません。

この主張はあらゆる種類の毛むくじゃらのフィギュアにも当てはまります。 トポロジーの分野では、数学者は幾何学と同じように形状を研究しますが、これらの形状は常に弾性のあるゴムで作られていると想像しています。 このゴムは他の形状に成形することはできますが、引き裂いたり、融着したり、ゴム自体を貫通したりすることはできません。 これらのことを行わずに、ある形状を別の形状にスムーズに変形できる場合、トポロジーに関する限り、それらの形状は等価です。 これは、毛むくじゃらのボール定理が、トポロジー的にはすべて球と等価である、毛むくじゃらの立方体、毛むくじゃらのぬいぐるみ、毛むくじゃらの野球バットに自動的に適用されることを意味します。 (ゴムの規則に違反することなく、Play-Doh のボールからすべてを成形することができます。)

球体に相当しないものは頭皮です。 頭皮自体は、毛足の長いカーペットの繊維のように、表面を平らにして一方向にとかすことができます。 悲しいことに、数学が寝癖の原因になることはありません。 また、ドーナツは球体とは異なるため、毛むくじゃらのドーナツ (間違いなく、食欲をそそるイメージではありません) もスムーズに梳くことができます。

ヘアリー ボール定理の興味深い結果は次のとおりです。地球上には、風が地表を横切って吹いていない地点が少なくとも 1 か所は常に存在します。 風は地球の周りを継続的に循環しており、地表上のあらゆる場所での風向きと大きさは、地球に接するベクトルによってモデル化できます。 (ベクトルの大きさは、髪の毛の長さなどの物理的な長さを表す必要はありません。) これは、突風がどこかで消滅する (カウリックを作成する) 必要があることを意味する、定理の前提条件を満たします。 カウリックは、低気圧や渦の目の中で発生する可能性があります。また、風が空に向かって直接吹き上げるために発生する可能性もあります。 この優れたオンライン ツールは、地球上の最新の風の流れを示しており、渦巻き状のカウリックをはっきりと見つけることができます。

定理の別の奇妙な派生を観察するには、バスケットボールを好きな方向に回転させてください。 表面上には速度がゼロの点が常に存在します。 ここでも、ボール上のその点での方向と速度に基づいて、接線ベクトルを各点に関連付けます。 回転は連続的な動きであるため、毛むくじゃらのボールの定理が適用され、速度がまったくない状態でのポイントが保証されます。 さらによく考えてみると、これは明らかなことのように思えるかもしれません。 回転するボールは目に見えない軸の周りを回転しますが、その軸の両端にある点は動きません。 静止点を取り除くために、その軸に正確に沿ってボールに小さな穴を開けたらどうなるでしょうか? そうなると、すべての点が動いているように見えます。 これはヘアリーボール定理に違反しますか? いいえ、ドリルで穴を開けるとボールがドーナツに変わったからです。 異常に長くて狭い穴のあるドーナツでさえ、定理の規則を無視し、矛盾は回避されます。